引入

洛谷P6175 无向图的最小环问题

给定一张带权无向图，求图中至少包含 33 个点的环，环上节点不重复，并且环上所有边权值和最小。

解法

我们考虑对 Floyd 算法进行修改，找出最小环。

设最小环由节点 V1−V2−⋯−VnV_1 - V_2 - \dots - V_n 组成。

其中编号最大的节点为 VmV_m 与其相连的节点为 VpV_p，VqV_q。

则最小环可以表示为 Vp−{Vp,Vq之间不包含Vm的最短路}−Vq−VmV_p - \{V_p,V_q\text{之间不包含}V_m\text{的最短路}\} - V_q - V_m。

如下图：

这是可以证明的：

  1. 假设不是最短路：则最短路权值一定更小；
  2. 假设包含了 VmV_m：则出现了重复的节点。

在 Floyd 算法中，我们知道，枚举中转点到 k 时，此时数组内下标小于 k 的值保存的是 1~(k-1) 内部之间的最短路。

因此在 Floyd 算法中枚举 i，j 的循环前面再添加一个循环即可。G[i][k] + G[k][j] + dis[i][j] 即为这个环的权值。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 105;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int G[N][N];
int dis[N][N];

int val=INF;

int main(){
    memset(G,0x3f,sizeof G);
    memset(dis,0x3f,sizeof dis);

    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<m;i++){
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        G[u][v] = G[v][u] = min(G[u][v],w);
        dis[u][v] = dis[v][u] = G[u][v];
    }

    for(int k=1;k<=n;k++){
        for(int i=1;i<k;i++){
            for(int j=1;j<i;j++){
                if(dis[i][j] != INF && G[j][k] != INF && G[k][i] != INF){
                    if(dis[i][j] + G[j][k] + G[k][i] < val){
                        val = dis[i][j] + G[j][k] + G[k][i];
                    }
                }
            }
        }

        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j]){
                    dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
                }
            }
        }
    }

    printf("%d\n",val);
    return 0;
}

这份代码有几个点需要注意：

  1. 如果你的无穷大和我一样用的是 0x3f3f3f3f，那么不能三个直接加起来，会爆炸，要先判断是否有无穷大。
  2. 在第 26~34 行的循环中，要注意满足 i,j<ki,j<k 且 i≠ji \neq j。

求最小环上节点

和求 Floyd 最短路径同理，对于每两个节点，保存中转点即可。

保存中转点后，可以递归找出路径。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 105;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int G[N][N];
int dis[N][N];
int mid[N][N];

vector<int> ansPath;

int val=INF;
int a,b,c;

void find_path(int u,int v){
    int md = mid[u][v];
    if(!md)return;

    find_path(u,md);
    ansPath.push_back(md);
    find_path(v,md);
}

int main(){
    memset(G,0x3f,sizeof G);
    memset(dis,0x3f,sizeof dis);

    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<m;i++){
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        G[u][v] = G[v][u] = min(G[u][v],w);
        dis[u][v] = dis[v][u] = G[u][v];
    }

    for(int k=1;k<=n;k++){
        for(int i=1;i<k;i++){
            for(int j=1;j<i;j++){
                if(dis[i][j] != INF && G[j][k] != INF && G[k][i] != INF){
                    if(dis[i][j] + G[j][k] + G[k][i] < val){
                        // printf("%d->%d %d->%d->%d\n",i,j,j,k,i);
                        val = dis[i][j] + G[j][k] + G[k][i];
                        a = i, b = j, c= k;
                        ansPath.clear();
                        find_path(a,b);
                    }
                }
            }
        }

        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j]){
                    dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
                    mid[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }

    printf("Min Circle: %d\n",val);
    printf("%d ",a);
    for(int x:ansPath)printf("%d ",x);
    printf("%d ",b);
    printf("%d\n",c);

    return 0;
}