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行列式 定义 对于 n×nn\times nn×n 的方阵 AAA： [a1,1a1,2⋯a1,na2,1a2,2⋯a2,n⋮⋮⋱⋮an,1an,2⋯an,n]\begin{bmatrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \cdots & a_{1, n} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & \cdots & a_{2, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \cdots & a_{n, n} \end{bmatrix} ​a1,1​a2,1​⋮an,1​​a1,2​a2,2​⋮an,2​​⋯⋯⋱⋯​a1,n​a2,n​⋮an,n​​​ 定义其行列式 det⁡(A)=∑p(−1)π(p)∏i=1nai,pi\det(A) = \displaystyle \sum_{p}(-1)^{\pi(p)}\prod_{i=1}^n a_{i,p_i}det(A)=p∑​(−1)π( ...

题意 称在二进制下 010101 交替且最高位和最低位都是 111 的数为斑马数，如 (1)2=1,(10101)2=21(1)_2=1,(10101)_2=21(1)2​=1,(10101)2​=21。 对一个数 nnn 来说，定义它的价值为最小的正整数 ppp，使得 nnn 能表示成 ppp 个斑马数（可以相同也可以不同）。 求 [l,r][l,r][l,r] 中价值为 kkk 的数个数。 l,r,k≤1018l,r,k\le 10^{18}l,r,k≤1018。 题解 考虑一个数的最优分解，即分解成最少个斑马数之和。 设第 iii 个斑马数为 ziz_izi​，即 z1=1,z4=85z_1=1,z_4=85z1​=1,z4​=85，分解中第 iii 个斑马数的次数为 cic_ici​。 假设某一个数的最优分解中含有了某个斑马数 zi(i>1)z_i(i>1)zi​(i>1) 至少 555 次以上，那么可以发现 5zi=zi+1+4zi−15z_i = z_{i+1} + 4z_{i-1}5zi​=zi+1​+4zi−1​，不会使答案变劣。 若含有了 111 至 ...

约定下标从 0 开始。 Z 函数 定义 z[i]z[i]z[i] 表示字符串 sss 和 s[i..]s[i..]s[i..]（即从 iii 开始的部分）的最长公共前缀。 我们可以在 O(n)O(n)O(n) 复杂度内计算出一个字符串的 Z 函数。（当然也可以哈希单 log 完成） 假设我们已经求出了 z[0],z[1],…,z[i−1]z[0],z[1],\ldots,z[i-1]z[0],z[1],…,z[i−1]，对于每个 iii，将 [i,i+z[i]−1][i,i+z[i]-1][i,i+z[i]−1] 称为它的 Z-box。 我们找出 1∼i−11\sim i-11∼i−1 中右端点最靠右的 Z-box，记作 [l,r][l,r][l,r]。（初始时 l=r=0l=r=0l=r=0，不计 z[0]z[0]z[0] 的 Z-box） 分类讨论： i≤ri\le ri≤r：根据 Z 函数定义可知 s[0..r−l]=s[l,r]s[0..r-l]=s[l,r]s[0..r−l]=s[l,r]，则 s[i..r]=s[i−l,r−l]s[i..r]=s[i-l,r-l]s[i. ...

包括删边，删点，修改边权，加边，查询最短路一类问题。 一般图多源最短路 一般图的多源的删边最短路由于受到 Floyd O(n3)O(n^3)O(n3) 的限制，做法一般比较单一。 删边，多源最短路 题目 ABC375F Road Blocked 给定一个有 nnn 个点，mmm 条边的带权无向图，有 qqq 个查询，类型如下： 1 i：删除第 iii 条边； 2 x y：求 xxx 到 yyy 的最短路长度（无法到达输出 -1）。 数据范围：n≤300,m≤(n2)n\le 300, m\le \binom n 2n≤300,m≤(2n​)，删边不超过 300300300 次。 解法 看到删边不超过 300300300 次启发我们使用 Floyd O(n3)O(n^3)O(n3) 解决这个问题。Floyd 能处理新加入一条边，但是比较难做删边，所以我们离线之后倒过来处理，就只需要加边和求任意两点最短路。 怎么用 Floyd 更新一条边对多源最短路的贡献？ 假设这条边是 (u,v)(u, v)(u,v)，长度为 www，di,jd_{i,j}di,j​ 表示 i,ji,ji,j 之间 ...

概述 目标 由于修改过一次 permalink，但没有设定重定向，导致之前的链接会出现 404 问题。 _config.yml12- permalink: :year/:month/:day/:title/+ permalink: posts/:hash/ 我们希望能够添加一个搜索链接，让用户搜索找到新的页面。 效果图： 需要修改的文件 themes\butterfly\layout\includes\404.pug（用于修改 404 页面内容） themes\butterfly\source\js\search\local-search.js（用于自动填入搜索内容） 修改 404 页面 themes\butterfly\layout\includes\404.pug1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041- var top_img_404 = theme.error_404.background || theme.default_top_img#body-wrap.er ...

提供一个比较好写的 1 log 做法。 题意 有 nnn 个桶，容积无限大，知道每个桶初始有 aia_iai​ 千克的水。现在有一个桶恰额外含有 0.1790.1790.179 千克的毒药，进行任意次如下两种操作： 选择两个桶 AAA，桶 BBB，比较重量，知道哪边重或一样重； 选择桶 AAA，桶 BBB，从 AAA 桶中倒 xxx 千克水（xxx 不一定是整数）进入 BBB 桶，要求： ※ AAA 桶必须不含毒药； ※ AAA 桶至少要含有 xxx 千克的水。 判断是否能唯一确定哪个桶装着毒药，输出 Yes/No。 现在会进行 qqq 次修改，每次的修改为增加一个初始水量为 bbb 的桶，或删去一个初始水量为 bbb 的桶（保证存在），修改持续。 每次修改后，输出 Yes/No，代表当前情况是否能判断哪个桶装着毒药。 n,q≤2×105,ai,b≤106n,q\le 2\times 10^5, a_i,b\le10^6n,q≤2×105,ai​,b≤106。 解法 注意到操作 1 只有两个桶装的水是同样重的才有用（要不然有没有毒药不会影响结果），而且操作 2 选择的桶 AAA 一 ...

题意 LOJ6077 「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对 给定 n,kn,kn,k，求长度为 nnn 的逆序对数恰为 kkk 的排列个数，对 109+710^9+7109+7 取模。 n,k≤105n,k\le 10^5n,k≤105。 生成函数做法 先考虑一个 O(nk)O(nk)O(nk) 的朴素 dp。考虑按照位置一个一个插入数，假设当前插入第 iii 个数，根据插入的数与前面的数的大小，可以构成 [0,i−1][0,i-1][0,i−1] 个逆序对。 设 dpi,jdp_{i,j}dpi,j​ 表示长度为 iii 的有 jjj 个逆序对的排列数量： dpi,j=∑max⁡(0,j−i+1)≤k≤jdpi−1,kdp_{i,j} = \sum_{\max(0,j-i+1)\le k\le j}dp_{i-1,k} dpi,j​=max(0,j−i+1)≤k≤j∑​dpi−1,k​ 用前缀和就可以做到 O(nk)O(nk)O(nk) 了。 我们考虑写出这个问题的生成函数，xpx^pxp 的系数表示逆序对个数为 ppp 的排列个数。 一开始 F1=1F_1 = 1F1​=1， ...

其实是 有关区间的三个经典贪心算法（前两个）的树上版本。 等价性 问题 1：给定一棵树，和 mmm 条路径，求最少选几个点，使得每个路径上都至少有一个点。 问题 2：给定一棵树，和 mmm 条路径，求最多选出几个路径，使得任意两个路径不存在公共点。 下证明：这两个问题的答案相等。 类比区间时候的证明，设问题 1 答案为 xxx，问题 2 答案为 yyy，易证 x≥yx\ge yx≥y。 接下来证明能用 yyy 个点覆盖完所有路径。用反证法，假设存在一个至少有 y+1y+1y+1 个点的最佳答案，对于 yyy 个不相交路径上面每个都至少有一个点，第 y+1y+1y+1 个点如果在某个不相交路径内部，说明我们可以多选出一个不相交路径，在外部同理，矛盾，因此两个问题答案相同。 后面我们会分别从两个角度出发介绍两种算法，这两种算法都可以用来解决这两个题目。 算法 1（贪心，从树上用最少点覆盖路径角度出发） 求出答案 直接贪心。求出每个路径的顶点（也就是两个端点的 LCA），按照从深到浅的顺序一个一个取，如果已经被之前的点覆盖了就跳过。 证明： 根据归纳，我们只需要证明对于任意情况，选择最深 ...

问题 1 题目 CF911G. Mass Change Queries 给定长度为 nnn 的序列，有 qqq 个操作，每个操作是把区间 [l,r][l,r][l,r] 中等于 xxx 的数改成 yyy。 输出 qqq 步操作完的数列。 n,q≤2×105,ai≤100n,q\le 2\times 10^5,a_i\le 100n,q≤2×105,ai​≤100。 做法 （这个问题有用动态开点线段树的做法，但是线段树难以解决区间询问问题，我们这里介绍分块做法。） 考虑分块，块长为 BBB，用并查集维护每个数的位置，维护每个块每个颜色的代表元素 rti,xrt_{i,x}rti,x​（如果没有就是 000），并保证 a[rti,x]a[rt_{i,x}]a[rti,x​] 始终对应其真实颜色，空间复杂度 O(V⋅nB)O\left(V\cdot \dfrac n B\right)O(V⋅Bn​)。 修改整块，把 xxx 变 yyy 的时候： 如果 xxx 是空的就是什么都不做； 否则： 如果 yyy 是空的，执行 rti,y←rti,xrt_{i,y}\leftarrow rt_{i ...

QOJ# 9904. 最小生成树 题意 给定一个有 nnn 个节点的无向完全图、序列 a3∼a2n−1a_3\sim a_{2n-1}a3​∼a2n−1​，边 (i,j)(i,j)(i,j) 的边权为 ai+ja_{i+j}ai+j​，求该图最小生成树的权。 分析 看到最小生成树考虑采用 Kruskal, Prim, Boruvka 的一种。 这道题采用 Kruskal 即可。 根据 Kruskal 的过程，每次取出最小的 aka_kak​，连上所有可能的边。我们考虑如何快速求出每个 aka_kak​ 的贡献。 做法 1（二分） 根据均摊我们知道，总共只会连上 n−1n-1n−1 条边。 如果我们能够花费一定的代价，快速求出下一个能连上的边，就能解决本题。 采用并查集，维护一个序列，每个位置的值是它在并查集中的代表元素。 假设当前处理的是 aka_kak​，每次连接的是以 k/2k/2k/2 为中心的一个区间，如果 [l,r] (l+r=k)[l,r]\ (l+r=k)[l,r] (l+r=k) 内的都已经连上了，反映在序列中就是 [l,r][l,r][l,r] 是回文串，而这个显然是 ...