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最近公共祖先 最近公共祖先（LCA）指的是两个或多个点的公共祖先中离根最远的一个。 对于 LCA 问题，有多种算法可以求解。 倍增 过程 先将树进行一遍 DFS，预处理出 fau,i\textit{fa}_{u,i}fau,i​ 表示节点 uuu 的 2i2^i2i 级祖先。 接下来对于两个节点 u,vu,vu,v，先根据两个节点的深度之差 ∣depu−depv∣|\textit{dep}_u - \textit{dep}_v|∣depu​−depv​∣，将较深的节点用 fa\textit{fa}fa 数组，通过 O(log⁡n)O(\log n)O(logn) 次操作跳到一样深。 当两个节点一样深之后，若此时两个节点相同，直接返回。 否则需要找到最小的 ddd，使得 uuu 和 vvv 的 ddd 级祖先相同。为次，我们从最大的 iii 开始，依次递减到 000，每次如果 fau,i≠fav,i\textit{fa}_{u,i}\ne \textit{fa}_{v,i}fau,i​=fav,i​，就将 u←fau,i,v←fav,iu\gets \textit{fa}_{u,i}, ...

数位 DP 数位 DP 是一种快速求解出在 [1,n][1,n][1,n] 满足条件的数个数的方法。其特点有数据范围一般均为 101810^{18}1018 次方量级（甚至更高）。 对于这种问题，我们是有一套通用的记忆化搜索模板的。 记忆化搜索 数位 DP 有不使用记忆化搜索的递推写法，但是记忆化搜索写法具有好实现的优点，而且一般记忆化搜索是可以做所有数位 DP 的题目的。 我们从一道题目出发来讲解通用的记忆化搜索方法。 示例题目 LOJ#10164. 「一本通 5.3 例 2」数字游戏 给定两个正整数 aaa 和 bbb，求在 [a,b][a,b][a,b] 中的所有整数中，有多少个数满足从左到右各位数字成小于等于的关系。 1≤a≤b≤231−11\le a\le b\le 2^{31}-11≤a≤b≤231−1。 解法 首先我们需要知道，对于区间 [a,b][a,b][a,b] 来说，可以拆分成求 [1,b][1,b][1,b] 和 [1,a−1][1,a-1][1,a−1] 的答案，然后将结果相减，因此后面我们只需考虑求出 [1,n][1,n][1,n] 的所有整数中各数码出现个 ...

生成树 定义连通无向连通图 GGG 的生成树是有 GGG 的一个树子图。 最小生成树 相关概念与性质 定义带权无向图的最小生成树是其各边边权和最小的生成树。 定义带权无向图的瓶颈生成树该图生成树中，最大的边权最小的生成树。 最小生成树一定是瓶颈生成树，瓶颈生成树不一定是最小生成树。 边权各不相同的图最小生成树唯一。 一张图所有最小生成树同一权值边数量相同。 一张图上两点之间所有路径最大边的最小值 = 最小生成树上两点路径最大边。 算法 一般有三种算法可以用来求最小生成树，实际做题时应根据题目灵活选用适合的算法。 Kruskal 将边从小到大排序，依次遍历，如果当前边的两个端点之间没有连通就加入这条边，最后加入的边构成的就是最小生成树。 用并查集维护连通性。 复杂度 O(mlog⁡m)O(m\log m)O(mlogm)。 模板代码： 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N ...

行列式 定义 对于 n×nn\times nn×n 的方阵 AAA [a1,1a1,2⋯a1,na2,1a2,2⋯a2,n⋮⋮⋱⋮an,1an,2⋯an,n]\begin{bmatrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \cdots & a_{1, n} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & \cdots & a_{2, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \cdots & a_{n, n} \end{bmatrix} ​a1,1​a2,1​⋮an,1​​a1,2​a2,2​⋮an,2​​⋯⋯⋱⋯​a1,n​a2,n​⋮an,n​​​ 定义其行列式 det⁡(A)=∑p(−1)π(p)∏i=1nai,pi\det(A) = \displaystyle \sum_{p}(-1)^{\pi(p)}\prod_{i=1}^n a_{i,p_i}det(A)=p∑​(−1)π(p ...

题意 称在二进制下 010101 交替且最高位和最低位都是 111 的数为斑马数，如 (1)2=1,(10101)2=21(1)_2=1,(10101)_2=21(1)2​=1,(10101)2​=21。 对一个数 nnn 来说，定义它的价值为最小的正整数 ppp，使得 nnn 能表示成 ppp 个斑马数（可以相同也可以不同）。 求 [l,r][l,r][l,r] 中价值为 kkk 的数个数。 l,r,k≤1018l,r,k\le 10^{18}l,r,k≤1018。 题解 考虑一个数的最优分解，即分解成最少个斑马数之和。 设第 iii 个斑马数为 ziz_izi​，即 z1=1,z4=85z_1=1,z_4=85z1​=1,z4​=85，分解中第 iii 个斑马数的次数为 cic_ici​。 假设某一个数的最优分解中含有了某个斑马数 zi(i>1)z_i(i>1)zi​(i>1) 至少 555 次以上，那么可以发现 5zi=zi+1+4zi−15z_i = z_{i+1} + 4z_{i-1}5zi​=zi+1​+4zi−1​，不会使答案变劣。 若含有了 111 至 ...

约定下标从 0 开始。 Z 函数 定义 z[i]z[i]z[i] 表示字符串 sss 和 s[i..]s[i..]s[i..]（即从 iii 开始的部分）的最长公共前缀。 我们可以在 O(n)O(n)O(n) 复杂度内计算出一个字符串的 Z 函数。（当然也可以哈希单 log 完成） 假设我们已经求出了 z[0],z[1],…,z[i−1]z[0],z[1],\ldots,z[i-1]z[0],z[1],…,z[i−1]，对于每个 iii，将 [i,i+z[i]−1][i,i+z[i]-1][i,i+z[i]−1] 称为它的 Z-box。 我们找出 1∼i−11\sim i-11∼i−1 中右端点最靠右的 Z-box，记作 [l,r][l,r][l,r]。（初始时 l=r=0l=r=0l=r=0，不计 z[0]z[0]z[0] 的 Z-box） 分类讨论： i≤ri\le ri≤r：根据 Z 函数定义可知 s[0..r−l]=s[l,r]s[0..r-l]=s[l,r]s[0..r−l]=s[l,r]，则 s[i..r]=s[i−l,r−l]s[i..r]=s[i-l,r-l]s[i. ...

包括删边，删点，修改边权，加边，查询最短路一类问题。 一般图多源最短路 一般图的多源的删边最短路由于受到 Floyd O(n3)O(n^3)O(n3) 的限制，做法一般比较单一。 删边，多源最短路 题目 ABC375F Road Blocked 给定一个有 nnn 个点，mmm 条边的带权无向图，有 qqq 个查询，类型如下： 1 i：删除第 iii 条边； 2 x y：求 xxx 到 yyy 的最短路长度（无法到达输出 -1）。 数据范围：n≤300,m≤(n2)n\le 300, m\le \binom n 2n≤300,m≤(2n​)，删边不超过 300300300 次。 解法 看到删边不超过 300300300 次启发我们使用 Floyd O(n3)O(n^3)O(n3) 解决这个问题。Floyd 能处理新加入一条边，但是比较难做删边，所以我们离线之后倒过来处理，就只需要加边和求任意两点最短路。 怎么用 Floyd 更新一条边对多源最短路的贡献？ 假设这条边是 (u,v)(u, v)(u,v)，长度为 www，di,jd_{i,j}di,j​ 表示 i,ji,ji,j 之间 ...

概述 目标 由于修改过一次 permalink，但没有设定重定向，导致之前的链接会出现 404 问题。 _config.yml12- permalink: :year/:month/:day/:title/+ permalink: posts/:hash/ 我们希望能够添加一个搜索链接，让用户搜索找到新的页面。 效果图： 需要修改的文件 themes\butterfly\layout\includes\404.pug（用于修改 404 页面内容） themes\butterfly\source\js\search\local-search.js（用于自动填入搜索内容） 修改 404 页面 themes\butterfly\layout\includes\404.pug1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041- var top_img_404 = theme.error_404.background || theme.default_top_img#body-wrap.er ...

提供一个比较好写的 1 log 做法。 题意 有 nnn 个桶，容积无限大，知道每个桶初始有 aia_iai​ 千克的水。现在有一个桶恰额外含有 0.1790.1790.179 千克的毒药，进行任意次如下两种操作： 选择两个桶 AAA，桶 BBB，比较重量，知道哪边重或一样重； 选择桶 AAA，桶 BBB，从 AAA 桶中倒 xxx 千克水（xxx 不一定是整数）进入 BBB 桶，要求： ※ AAA 桶必须不含毒药； ※ AAA 桶至少要含有 xxx 千克的水。 判断是否能唯一确定哪个桶装着毒药，输出 Yes/No。 现在会进行 qqq 次修改，每次的修改为增加一个初始水量为 bbb 的桶，或删去一个初始水量为 bbb 的桶（保证存在），修改持续。 每次修改后，输出 Yes/No，代表当前情况是否能判断哪个桶装着毒药。 n,q≤2×105,ai,b≤106n,q\le 2\times 10^5, a_i,b\le10^6n,q≤2×105,ai​,b≤106。 解法 注意到操作 1 只有两个桶装的水是同样重的才有用（要不然有没有毒药不会影响结果），而且操作 2 选择的桶 AAA 一 ...

题意 LOJ6077 「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对 给定 n,kn,kn,k，求长度为 nnn 的逆序对数恰为 kkk 的排列个数，对 109+710^9+7109+7 取模。 n,k≤105n,k\le 10^5n,k≤105。 生成函数做法 先考虑一个 O(nk)O(nk)O(nk) 的朴素 dp。考虑按照位置一个一个插入数，假设当前插入第 iii 个数，根据插入的数与前面的数的大小，可以构成 [0,i−1][0,i-1][0,i−1] 个逆序对。 设 dpi,jdp_{i,j}dpi,j​ 表示长度为 iii 的有 jjj 个逆序对的排列数量： dpi,j=∑max⁡(0,j−i+1)≤k≤jdpi−1,kdp_{i,j} = \sum_{\max(0,j-i+1)\le k\le j}dp_{i-1,k} dpi,j​=max(0,j−i+1)≤k≤j∑​dpi−1,k​ 用前缀和就可以做到 O(nk)O(nk)O(nk) 了。 我们考虑写出这个问题的生成函数，xpx^pxp 的系数表示逆序对个数为 ppp 的排列个数。 一开始 F1=1F_1 = 1F1​=1， ...