本篇文章中，存树的方式统一采用链式前向星。
链式前向星实现

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int head[N];
int nxt[N<<1],to[N<<1];
int cnt=1;
void add_edge(int u,int v){
    nxt[cnt] = head[u];
    to[cnt]=v;
    head[u]=cnt;
    cnt++;
}

树链剖分的概念

将一棵树分割为若干条链，将维护路径问题转化为维护若干条链上信息。

我们介绍一种分割方式——重链剖分。

重链剖分可以将树上任意一条路径分割为 O(log⁡n)O(\log n) 条连续的链，每条链上 dfs 序连续，因此可以采用线段树等维护路径上的信息。

对于重链剖分，给出一些定义：

  • 重子节点：子结点中子树最大的节点。若有多个最大的，任意其一为重子节点。
  • 轻子节点：剩余的子节点
  • 重边：到重子节点的边
  • 重链：若干条重边首尾相连形成重链。特别的，对于单个子节点，也认为是一条重链。

这样即可将整棵树划分为若干条重链。

重链剖分示意图

实现

重链剖分通过两次 dfs 实现。

第一次 dfs 求出子树大小，父节点，重子节点，深度。

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int fa[N],sz[N],hson[N],dep[N];
void dfs1(int u){
    hson[u]=-1;
    sz[u]=1;
    for(int e=head[u];e;e=nxt[e]){
        int v=to[e];
        if(v==fa[u])continue;
        fa[v]=u;
        dep[v]=dep[u]+1;
        dfs1(v);
        if(hson[u]==-1 || sz[hson[u]]<sz[v]){
            hson[u]=v;
        }
        sz[u]+=sz[v];
    }
}

第二次 dfs 求出 dfs 序和每个节点所在重链的深度最浅节点。在第二次dfs中，优先遍历重子节点，即可保证重链上的点 dfs 序连续。

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int dfn[N],top[N];int cnt2=0;
void dfs2(int u,int t){
    top[u]=t;
    dfn[u]=cnt2++;
    
    if(hson[u]==-1)return;
    dfs2(hson[u],t); // 优先遍历重子节点

    for(int e=head[u];e;e=nxt[e]){
        int v=to[e];
        if(v==fa[u] || v==hson[u])continue;
        dfs2(v,v);
    }
}

应用

维护路径

选择深度较大的子节点，往上跳，直到在同一条重链上。

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void operate_path(int x,int y){
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x,y);
        OPERATE(dfn[top[x]],dfn[x]); // 对这一区间执行任意操作
        x = fa[top[x]];
    }
    if(dep[x]>dep[y])swap(x,y); 
    OPERATE(dfn[x],dfn[y]); // 跳到同一条重链上了
}

维护子树

显然子树内 dfs 序连续，只需对 根节点 到 根节点+子树大小-1 这一范围操作即可。

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void operate_tree(int x){
    OPERATE(dfn[x],dfn[x]+sz[x]-1);
}

求 lca

与维护路径操作类似，也是深度较大的节点先往上跳，直到跳到同一条重链上，此时深度较小的节点即为 lca。

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int lca(int x,int y){
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x,y);
        x = fa[top[x]];
    }
    if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
    return x;
}

例题

洛谷P3384 【模板】重链剖分/树链剖分

AC代码

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

const int N = 1e5+5;

int n,m,r;
ll p;

int h[N],nxt[N*2],to[N*2];
int cnt = 1;

void add_edge(int u,int v){
    nxt[cnt]=h[u];
    to[cnt]=v;
    h[u]=cnt++;
}

ll val[N];

int fa[N],dep[N],sz[N],hson[N];
void dfs1(int u){
    hson[u]=-1;
    sz[u]=1;
    for(int e=h[u];e;e=nxt[e]){
        int v = to[e];
        if(v==fa[u])continue;
        dep[v]=dep[u]+1;
        fa[v]=u;
        dfs1(v);
        sz[u]+=sz[v];
        if(hson[u]==-1 || sz[hson[u]]<sz[v]){
            hson[u]=v;
        }
    }   
}

int top[N],dfn[N],rnk[N],cnt2=1;
void dfs2(int u,int t){
    top[u]=t;
    rnk[cnt2]=u;
    dfn[u]=cnt2++;
    if(hson[u]==-1)return;
    dfs2(hson[u],t);
    for(int e=h[u];e;e=nxt[e]){
        int v = to[e];
        if(v==fa[u] || v==hson[u])continue;
        dfs2(v,v);
    }   
}

int ql,qr;ll qk;
ll t[N<<2],lz[N<<2];

void build(int o,int l,int r){
    if(l==r){
        t[o] = val[rnk[l]];
        return;
    }
    int ls = (o<<1),rs=((o<<1)|1);
    int mid = (l+r)>>1;
    build(ls,l,mid);
    build(rs,mid+1,r);
    t[o] = (t[ls]+t[rs])%p;
}
void pushdown(int o,int l,int r){
    int ls = (o<<1),rs=((o<<1)|1);
    int mid = (l+r)>>1;
    t[ls] = (t[ls]+lz[o]*(mid-l+1))%p;
    t[rs] = (t[rs]+lz[o]*(r-mid))%p;
    lz[ls]=(lz[ls]+lz[o])%p;
    lz[rs]=(lz[rs]+lz[o])%p;
    lz[o]=0;
}
void add(int o,int l,int r){
    if(ql<=l && r<=qr){
        t[o] =  (t[o]+qk*(r-l+1))%p;
        lz[o] = (lz[o]+qk)%p;
        return;
    }
    pushdown(o,l,r);
    int ls = (o<<1),rs=((o<<1)|1);
    int mid = (l+r)>>1;
    if(mid>=ql)add(ls,l,mid);
    if(mid<qr)add(rs,mid+1,r);
    t[o] = (t[ls]+t[rs])%p;
}
ll query(int o,int l,int r){
    if(ql<=l && r<=qr){
        return t[o];
    }
    pushdown(o,l,r);
    int ls = (o<<1),rs=((o<<1)|1);
    int mid = (l+r)>>1;
    ll ans = 0;
    if(mid>=ql)ans += query(ls,l,mid);
    if(mid<qr)ans += query(rs,mid+1,r);
    return ans %p;
}

void add_chain(int x,int y,ll z){
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x,y);
        ql = dfn[top[x]],qr=dfn[x],qk=z;
        add(1,1,n);
        x = fa[top[x]];
    }
    if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
    ql = dfn[x], qr = dfn[y] ,qk=z;
    add(1,1,n);
}

ll query_chain(int x,int y){
    ll ans = 0;
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]] < dep[top[y]]) swap(x,y);
        ql = dfn[top[x]],qr=dfn[x];
        ans += query(1,1,n);
        x = fa[top[x]];
    }
    if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
    ql = dfn[x], qr = dfn[y];
    ans += query(1,1,n);
    return ans % p;
}

void add_tree(int x,ll z){
    ql = dfn[x],qr=dfn[x]+sz[x]-1,qk=z;
    add(1,1,n);
}

ll query_tree(int x){
    ql = dfn[x],qr=dfn[x]+sz[x]-1;
    return query(1,1,n);
}

int main(){
    scanf("%d%d%d%lld",&n,&m,&r,&p);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",val+i);
    }
    for(int i=1;i<n;i++){
        int u1,v1;
        scanf("%d%d",&u1,&v1);
        add_edge(u1,v1);
        add_edge(v1,u1);
    }

    dfs1(r);
    dfs2(r,r);

    build(1,1,n);

    while(m--){
        int o;scanf("%d",&o);
        if(o==1){
            int x,y;ll z;
            scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);
            add_chain(x,y,z);
        }else if(o==2){
            int x,y;
            scanf("%d%d",&x,&y);
            printf("%lld\n",query_chain(x,y));
        }else if(o==3){
            int x;ll z;
            scanf("%d%lld",&x,&z);
            add_tree(x,z);
        }else{
            int x;
            scanf("%d",&x);
            printf("%lld\n",query_tree(x));
        }
    }
    return 0;
}

洛谷P2146 [NOI2015] 软件包管理器

对于安装操作，即为该节点到根节点置为 1。对于卸载操作，只需将子树置为 0。线段树维护修改即可。

对于改变数量，可以用操作前后线段树根节点值的变化表示。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5+5;

int head[N];
int nxt[N<<1],to[N<<1];
int cnt=1;
void add_edge(int u,int v){
    nxt[cnt] = head[u];
    to[cnt]=v;
    head[u]=cnt;
    cnt++;
}

int fa[N],sz[N],hson[N],dep[N];
void dfs1(int u){
    hson[u]=-1;
    sz[u]=1;
    for(int e=head[u];e;e=nxt[e]){
        int v=to[e];
        if(v==fa[u])continue;
        fa[v]=u;
        dep[v]=dep[u]+1;
        dfs1(v);
        if(hson[u]==-1 || sz[hson[u]]<sz[v]){
            hson[u]=v;
        }
        sz[u]+=sz[v];
    }
}

int dfn[N],top[N];int cnt2=0;
void dfs2(int u,int t){
    top[u]=t;
    dfn[u]=cnt2++;
    
    if(hson[u]==-1)return;
    dfs2(hson[u],t);

    for(int e=head[u];e;e=nxt[e]){
        int v=to[e];
        if(v==fa[u] || v==hson[u])continue;
        dfs2(v,v);
    }
}

int t[N<<2],tag[N<<2];
void pushdown(int o,int l,int r){
    if(tag[o]!=-1){
        int ls = (o<<1), rs = ((o<<1)|1);
        int mid =  (l+r)>>1;
        t[ls]=tag[o]*(mid-l+1);
        t[rs]=tag[o]*(r-mid);
        tag[ls]=tag[o];
        tag[rs]=tag[o];
        tag[o]=-1;
    }
}
void modify(int o,int l,int r,int ql,int qr,int qk){
    // printf("%d %d %d %d %d %d\n",o,l,r,ql,qr,qk);
    if(ql<=l && r<=qr){
        t[o] = qk * (r-l+1);
        tag[o] = qk;
        return;
    }
    pushdown(o,l,r);
    int ls = (o<<1), rs = ((o<<1)|1);
    int mid =  (l+r)>>1;
    if(mid>=ql)modify(ls,l,mid,ql,qr,qk);
    if(mid<qr)modify(rs,mid+1,r,ql,qr,qk);
    t[o] = t[ls]+t[rs];
}

int query(int o,int l,int r,int ql,int qr){
    if(ql<=l && r<=qr){
        return t[o];
    }
    pushdown(o,l,r);
    int ls = (o<<1), rs = ((o<<1)|1);
    int mid =  (l+r)>>1;
    int ans = 0;
    if(mid>=ql)ans+=query(ls,l,mid,ql,qr);
    if(mid<qr)ans+=query(rs,mid+1,r,ql,qr);
    return ans;
}

int n;

void install(int x){
    // 往上跳
    int ans = -t[1];
    while(top[x]!=0){
        // printf("install %d-> %d (%d,%d)\n",x,top[x],dfn[x],dfn[top[x]]);
        modify(1,0,n-1,dfn[top[x]],dfn[x],1);
        x=fa[top[x]];
    }
    // printf("install2 %d-> %d (%d,%d)\n",x,top[x],dfn[x],dfn[top[x]]);
    modify(1,0,n-1,dfn[top[x]],dfn[x],1);
    ans+=t[1];
    printf("%d\n",ans);
}

void uninstall(int x){
    printf("%d\n",query(1,0,n-1,dfn[x],dfn[x]+sz[x]-1));
    modify(1,0,n-1,dfn[x],dfn[x]+sz[x]-1,0);
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++){
        int j;scanf("%d",&j);
        add_edge(i,j);
        add_edge(j,i);
    }

    dfs1(0);
    dfs2(0,0);

    memset(tag,-1,sizeof(tag));

    int m;scanf("%d",&m);
    char op[20];
    while(m--){
        int x;
        scanf("%s %d",op, &x);
        if(op[0]=='i'){
            install(x);
        }
        else{
            uninstall(x);
        }
    }
    return 0;
}