IOI2022 D2T1 数字电路
题目链接-UOJ760
题意
给定一颗有根树，有 nnn 个非叶子节点和 mmm 个叶子节点，000 为根。叶子节点编号为 n,…,n+m−1n,\dots,n+m-1n,…,n+m−1。
叶子节点有一个 {0,1}\{0,1\}{0,1} 中的权值。
对于非叶子节点，权值由如下步骤确定：
对于节点 uuu，设其儿子节点数量为 cuc_ucu，则任取该节点参数 lu∈[1,cu]l_u\in[1,c_u]lu∈[1,cu]。
若 uuu 的儿子节点权值为 111 的个数大于 lul_ulu ，则其权值为 111，否则为 000。
现在有 qqq 次修改，每次给定区间 [l,r][l,r][l,r]，反转编号在 [l,r][l,r][l,r] 中的叶子节点的权值（异或 111）。 求出有多少种确定每个非叶子节点参数方式，使根节点的权值为 111。答案对 109+202210^9+2022109+2022 取模。
分析
考虑非叶子节点 uuu，设有 xxx 个儿子权值为 111，yyy 个儿子权值为 000。那么，参数 lul_ulu 在 [1,x][1,x][1,x] 范围 ...
树形数据结构及其应用（2）
前文我们讲了树状数组与线段树基本的实现，本文我们讲线段树的一些优化。
动态开点线段树
我们知道，如果使用二叉树实现，需要给线段树开大小为 4n4n4n 的数组。为了节省空间，我们可以不一次性建好树，而是在最初只建立一个根结点代表整个区间。当我们需要访问某个子区间时，才建立代表这个区间的子结点。我们用ls和rs记录儿子的编号。（结点只有在需要的时候才被创建）
时间复杂度仍为 O(logn)O(\log n)O(logn)
经过 mmm 次操作后，节点的数量规模为 O(mlogn)O(m\log n)O(mlogn)，并且最多也只会创建 2n−12n-12n−1 个节点，没有浪费。
区间修改
12345678910111213void modify(int& o,int l,int r){ if(!o)o=++cnt; if(ql<=l&&r<=qr){ t[o] += qk*(r-l+1); add[o] += qk; return; } pushdow ...
树形数据结构及其应用
树状数组
一种简单的数据结构。可以做到 O(logn)O(\log n)O(logn) 单点修改，O(logn)O(\log n)O(logn) 区间查询。
维护差分数组可做到 O(logn)O(\log n)O(logn) 区间修改，O(logn)O(\log n)O(logn) 单点查询。
每个元素管理的区间为[i-lowbit(i)+1,i]，lowbit为二进制数的最低位1以及之后的0所组成的数。
123int lowbit(int x){ return x&(-x);}
在补码规则下，x的相反数的二进制表示为~x+1，对x取反后+1，把末尾的0（取反为了1）全部进位到了最低位1的位置，进行位与后得到的便是最低位。
洛谷P3374 【模板】树状数组 1
1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define ll long longco ...
矩阵乘法与递推应用
矩阵
本质是一个二维数表
A=[a1,1a1,2…a1,na2,1a2,2…a1,n⋮⋮⋱⋮am,1am,2…am,n]\mathbf A=\begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{1,n} \\
\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m,1} & a_{m,2} & \dots & a_{m,n} \\
\end{bmatrix}
A=a1,1a2,1⋮am,1a1,2a2,2⋮am,2……⋱…a1,na1,n⋮am,n
矩阵乘法
A\mathbf AA 为 m×nm \times nm×n 的矩阵，B\mathbf BB 为 n×pn \times pn×p 的矩阵，C=A×B\mathbf C = \mathbf A \times \mathbf BC=A×B，C\mathbf ...