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本文中，若无特殊说明，mmm 代表正整数，ppp 代表质数。 事实上，在题目中我们大多数情况下都是讨论对质数取模的情况。 阶 定义 若 (a,m)=1(a,m)=1(a,m)=1，满足 an=1(modm)a^n = 1 \pmod man=1(modm) 的最小的 nnn 称为 aaa 模 mmm 的阶，记作 δma\delta_m aδm​a。 如果 (a,m)=1(a,m)=1(a,m)=1 不互质，那么不难发现，不存在 nnn，使得 an=1(modm)a^n = 1 \pmod man=1(modm)，故我们不定义 aaa 模 mmm 的阶。 性质 本节中 a,ba,ba,b 均与 mmm 互质。 a,a2,…,aδmaa,a^2,\ldots,a^{\delta_m a}a,a2,…,aδm​a 模 mmm 两两不同。 【引理 1】完全剩余系中与 mmm 互质的剩余类所构成的系称为缩系，缩系内四则运算均封闭。 （证明略） 性质 1 证明： 用反证法，假设存在 1≤i<j≤δma1\le i < j \le \delta_m a1≤i<j≤δm​a，使 ...

数学 = 恐怖 莫比乌斯函数 μ\muμ 为莫比乌斯函数，定义为 μ(n)={1n=10n 含有平方因子(−1)kk 为 n 的本质不同质因子个数\mu(n)= \begin{cases} 1&n=1\\ 0&n\text{ 含有平方因子}\\ (-1)^k&k\text{ 为 }n\text{ 的本质不同质因子个数}\\ \end{cases} μ(n)=⎩⎨⎧​10(−1)k​n=1n 含有平方因子k 为 n 的本质不同质因子个数​ —— 引自 OI wiki 筛法求莫比乌斯函数 考虑 nnn 最小质因数为 ppp，n/p=n′n/p=n'n/p=n′。 若 n′ mod p=0n' \bmod p = 0n′modp=0, μ(n)=0\mu(n)=0μ(n)=0。（含有平方因子） 否则，μ(n)=−μ(n′)\mu(n)=-\mu(n')μ(n)=−μ(n′)。（分类讨论几种情况就能发现） 参考代码： 123456789101112int mu[N],pri[N],cnt;bool not_prime[N];mu[1]=1 ...

区间涂色问题 给定一个序列，操作为将一段连续的区间变为相同的颜色，求最少的操作次数。 题1：涂色 P4170 [CQOI2007] 涂色 - 洛谷 假设你有一条长度为 555 的木板，初始时没有涂过任何颜色。你希望把它的 555 个单位长度分别涂上红、绿、蓝、绿、红色，用一个长度为 555 的字符串表示这个目标：RGBGR\texttt{RGBGR}RGBGR。 每次你可以把一段连续的木板涂成一个给定的颜色，后涂的颜色覆盖先涂的颜色。例如第一次把木板涂成 RRRRR\texttt{RRRRR}RRRRR，第二次涂成 RGGGR\texttt{RGGGR}RGGGR，第三次涂成 RGBGR\texttt{RGBGR}RGBGR，达到目标。 用尽量少的涂色次数达到目标。 长度 n≤50n\le 50n≤50。 考虑区间 dp。设 dpi,jdp_{i,j}dpi,j​ 表示区间 [i,j][i,j][i,j] 的最少涂色次数。 怎么转移？ 先考虑如下引理： 存在一种最优操作，每次操作的区间为 [l1,r1],[l2,r2],…,[lm,rm][l_1,r_1],[l_2,r_2],\ld ...

我，上紫；爱来自中国🥰 A. Buttons 题意 有 a+b+ca+b+ca+b+c 个按钮，其中 aaa 个按钮只能小 A 按，bbb 个按钮只能小 B 按，ccc 个按钮小 A 小 B 都能按。 小 A 先手，当一个人没有按钮可按时，他就输了。 请问双方都按照最优策略行动情况下，谁会获胜？ 解法 最优策略显然是先按 ccc 然后再按自己的。 所以若 ccc 是奇数，我们给 bbb 减 111。 然后问题就转化成只有按钮 aaa 和 bbb，小 A 先手。显然当 a>ba>ba>b 时小 A 获胜，否则小 B 获胜。 123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839#include<bits/stdc++.h>using namespace std;using ll=long long;using ull=unsigned long long;using pii=pair<int,int>;#define all(x) x.begin(),x.en ...

引言 在信息竞赛中会有这样一类问题，其最终的目标是维护一些变量之间的关系（比如说相等与不等，变量之间的差），对于这类问题的不同变种，我们有不同的方法进行解决。 阅读本文前，我们假设读者已经掌握了如下内容：并查集模板、深度优先搜索、负环判定方法。 维护相等与不相等关系 变量取值任意 模板 给定 nnn 个变量 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_nx1​,x2​,…,xn​，mmm 组关系。每组关系形如 xi=xjx_i=x_jxi​=xj​ 或 xi≠xjx_i\ne x_jxi​=xj​。请求出是否存在一组合法解。 解法 对于这个问题，一般解法是利用并查集：我们进行离线处理，先将所有形如 xi=xjx_i=x_jxi​=xj​ 的关系的 (i,j)(i,j)(i,j) 合并到一个集合中，然后再对于所有 xi≠xjx_i\ne x_jxi​=xj​ 的进行检查，如果对应的 (i,j)(i,j)(i,j) 已经被划分到了一个集合中，说明不存在合法解，否则就存在合法解。 时间复杂度 O(n+m)O(n+m)O(n+m)。 习题 [NOI2015] 程序自动分析 同模板 ...

A. United We Stand 题意 给定一个 nnn 的数的序列 aaa，把他分成两个序列 bbb 和 ccc，使得对于所有 cic_ici​ 都不是任意 cjc_jcj​ 的因数。 解法 若 aaa 所有数相同 显然不论怎么分都不可以。 其他 把 aaa 中所有的最大值分到 ccc，其他的分到 bbb，这是一个合法解。 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758#include<bits/stdc++.h>using namespace std;using ll=long long;using ull=unsigned long long;using pii=pair<int,int>;#define all(x) x.begin(),x.end()#define mem0(x) memset(x,0,sizeof(x))#define YES puts("YES&qu ...

A - 3.14 题意 π≈3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679\pi\approx 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 π≈3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 输出 π\piπ 精确到小数点第 nnn 位的结果。 解法 用字符串处理即可。 1234567891011121314151617181920212223242526272829#include<bits/stdc++.h>using namespace std;using ll=long long;using ul ...

A. Array Coloring 题意 给定 {an}\{a_n\}{an​}，请问你能否把这个序列染成两个颜色，使得每个颜色的和的奇偶性相同。 解法 只要和为偶数就一定可以。和为奇数就一定不可以。 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243#include<bits/stdc++.h>using namespace std;using ll=long long;using ull=unsigned long long;using pii=pair<int,int>;#define all(x) x.begin(),x.end()#define mem0(x) memset(x,0,sizeof(x))#define YES puts("YES")#define NO puts("NO")#define Yes puts("Yes")#define No puts("No" ...

A. Tales of a Sort 题意 给定一个序列 {an}\{a_n\}{an​}。 现在每次操作为 ∀i,ai←max⁡(0,ai−1)\forall i, a_i\leftarrow \max(0,a_i-1)∀i,ai​←max(0,ai​−1)。 求进行多少次操作后序列变为有序？ 解法 进行模拟，每次遇到一个逆序的就不断进行操作直到这个逆序被消除。 复杂度 O(n2)O(n^2)O(n2)（可优化至 O(n)O(n)O(n)）。 123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051#include<bits/stdc++.h>using namespace std;using ll=long long;using ull=unsigned long long;using pii=pair<int,int>;#define all(x) x.begin(),x.end()#define mem0(x) memset( ...

A - To Be Saikyo 题意 有 nnn 个人，实力分别为 p1,p2,…,pnp_1,p_2,\ldots,p_np1​,p2​,…,pn​。 请问第一个人实力需要增加多少才能严格大于后面所有的人？ 解法 如果只有一个人，答案是 000。 否则答案是 max⁡(0,max⁡(p2,p3,…,pn)+1−n)\max(0,\max(p_2,p_3,\ldots,p_n)+1-n)max(0,max(p2​,p3​,…,pn​)+1−n)。 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940#include<bits/stdc++.h>using namespace std;using ll=long long;using ull=unsigned long long;using pii=pair<int,int>;#define all(x) x.begin(),x.end()#define mem0(x) memset(x,0,sizeof(x))#defin ...