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引言 在信息竞赛中会有这样一类问题，其最终的目标是维护一些变量之间的关系（比如说相等与不等，变量之间的差），对于这类问题的不同变种，我们有不同的方法进行解决。 阅读本文前，我们假设读者已经掌握了如下内容：并查集模板、深度优先搜索、负环判定方法。 维护相等与不相等关系 变量取值任意 模板 给定 nnn 个变量 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_nx1​,x2​,…,xn​，mmm 组关系。每组关系形如 xi=xjx_i=x_jxi​=xj​ 或 xi≠xjx_i\ne x_jxi​=xj​。请求出是否存在一组合法解。 解法 对于这个问题，一般解法是利用并查集：我们进行离线处理，先将所有形如 xi=xjx_i=x_jxi​=xj​ 的关系的 (i,j)(i,j)(i,j) 合并到一个集合中，然后再对于所有 xi≠xjx_i\ne x_jxi​=xj​ 的进行检查，如果对应的 (i,j)(i,j)(i,j) 已经被划分到了一个集合中，说明不存在合法解，否则就存在合法解。 时间复杂度 O(n+m)O(n+m)O(n+m)。 习题 [NOI2015] 程序自动分析 同模板 ...

A. United We Stand 题意 给定一个 nnn 的数的序列 aaa，把他分成两个序列 bbb 和 ccc，使得对于所有 cic_ici​ 都不是任意 cjc_jcj​ 的因数。 解法 若 aaa 所有数相同 显然不论怎么分都不可以。 其他 把 aaa 中所有的最大值分到 ccc，其他的分到 bbb，这是一个合法解。 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758#include<bits/stdc++.h>using namespace std;using ll=long long;using ull=unsigned long long;using pii=pair<int,int>;#define all(x) x.begin(),x.end()#define mem0(x) memset(x,0,sizeof(x))#define YES puts("YES&qu ...

A - 3.14 题意 π≈3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679\pi\approx 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 π≈3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 输出 π\piπ 精确到小数点第 nnn 位的结果。 解法 用字符串处理即可。 1234567891011121314151617181920212223242526272829#include<bits/stdc++.h>using namespace std;using ll=long long;using ul ...

A. Array Coloring 题意 给定 {an}\{a_n\}{an​}，请问你能否把这个序列染成两个颜色，使得每个颜色的和的奇偶性相同。 解法 只要和为偶数就一定可以。和为奇数就一定不可以。 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243#include<bits/stdc++.h>using namespace std;using ll=long long;using ull=unsigned long long;using pii=pair<int,int>;#define all(x) x.begin(),x.end()#define mem0(x) memset(x,0,sizeof(x))#define YES puts("YES")#define NO puts("NO")#define Yes puts("Yes")#define No puts("No" ...

A. Tales of a Sort 题意 给定一个序列 {an}\{a_n\}{an​}。 现在每次操作为 ∀i,ai←max⁡(0,ai−1)\forall i, a_i\leftarrow \max(0,a_i-1)∀i,ai​←max(0,ai​−1)。 求进行多少次操作后序列变为有序？ 解法 进行模拟，每次遇到一个逆序的就不断进行操作直到这个逆序被消除。 复杂度 O(n2)O(n^2)O(n2)（可优化至 O(n)O(n)O(n)）。 123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051#include<bits/stdc++.h>using namespace std;using ll=long long;using ull=unsigned long long;using pii=pair<int,int>;#define all(x) x.begin(),x.end()#define mem0(x) memset( ...

A - To Be Saikyo 题意 有 nnn 个人，实力分别为 p1,p2,…,pnp_1,p_2,\ldots,p_np1​,p2​,…,pn​。 请问第一个人实力需要增加多少才能严格大于后面所有的人？ 解法 如果只有一个人，答案是 000。 否则答案是 max⁡(0,max⁡(p2,p3,…,pn)+1−n)\max(0,\max(p_2,p_3,\ldots,p_n)+1-n)max(0,max(p2​,p3​,…,pn​)+1−n)。 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940#include<bits/stdc++.h>using namespace std;using ll=long long;using ull=unsigned long long;using pii=pair<int,int>;#define all(x) x.begin(),x.end()#define mem0(x) memset(x,0,sizeof(x))#defin ...

线段树维护区间最大子段和 区间最大子段和，指的是区间中一段连续的数的和的最大值，形式化的写作 max⁡l,r∑i=lrai\max_{l,r}\sum_{i=l}^ra_imaxl,r​∑i=lr​ai​。 单独求一个区间的最大子段和可以使用动态规划算法在 O(n)O(n)O(n) 时间内求出。但是，如果涉及到区间更改，或求一个子区间的区间最大子段和就无法如此做了。 事实上，使用线段树完全可以用来维护最大子段和。 定义 我们给每个节点维护四个值：区间和 sumsumsum，从左端点开始的最大子段和 lslsls，在右端点结束的最大子段和 rsrsrs，总共的最大子段和 msmsms。 123struct Node{ int sum,ls,rs,ms;}; pushup 我们考虑如何将这四个值由下面的两个区间 lch,rchlch,rchlch,rch 更新得到（pushup 操作）。 区间和 sumsumsum sum=sumlch+sumrchsum=sum_{lch}+sum_{rch}sum=sumlch​+sumrch​。 从左端点开始的最大子段和 ...

A - Chord 题意 给定一个字符串，判断 sss 是否是 ACE, BDF, CEG, DFA, EGB, FAC, 中 GBD 的一个。 解法 字面意思。 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334#include<bits/stdc++.h>using namespace std;using ll=long long;using ull=unsigned long long;using pii=pair<int,int>;#define all(x) x.begin(),x.end()#define mem0(x) memset(x,0,sizeof(x))#define YES puts("YES")#define NO puts("NO")#define Yes puts("Yes")#define No puts("No")#define errorf(...) fprintf(stderr, ...

A. Dalton the Teacher 题意 有 nnn 个数 a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_na1​,a2​,…,an​。 现在每次操作可以交换两个数，请求出最少的操作数，使得 ∀1≤i≤n,ai≠i\forall 1\le i \le n, a_i\ne i∀1≤i≤n,ai​=i。 解法 设当前满足 ai=ia_i=iai​=i 的数数量为 xxx。 可以证明，答案为 ⌊x+12⌋\big \lfloor \dfrac{x+1}{2} \big \rfloor⌊2x+1​⌋。 证明： 必要性：一次操作只能调换两个数的位置，至少需要 ⌊x+12⌋\big \lfloor \dfrac{x+1}{2} \big \rfloor⌊2x+1​⌋ 次操作才能调换每一个数。 充分性：我们构造一个合法方案。如果 xxx 是偶数，我们直接两两一换即可。如果 xxx 是奇数，我们先将 x−1x-1x−1 两两一换，显然最后一个数一定能在前 x−1x-1x−1 个数中找到一个能和它换的。 12345678910111213141516171819202122232425 ...

Rk#57 (1h22min AK, Unofficial) A. Escalator Conversations 题意 有一个电梯，有 mmm 级台阶，第 i (1≤i≤m)i\ (1\le i \le m)i (1≤i≤m) 级高度为 i⋅ki\cdot ki⋅k。 现在你的身高为 HHH，其他有 nnn 个人的身高为 h1,h2,…,hnh_1,h_2,\ldots,h_nh1​,h2​,…,hn​。 两个人可以对话，当且仅当它们站在不同的电梯台阶上且电梯台阶的高度差等于它们的身高差。请问：你可以分别和不同的几个人对话？ 解法 两个人可以对话，当且仅当身高差 Δh=p⋅k (p∈Z,1≤p<m)\Delta h = p\cdot k\ (p \in Z,1\le p <m)Δh=p⋅k (p∈Z,1≤p<m)，O(n)O(n)O(n) 遍历每一个人判断条件即可。 1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344#include<bits/stdc+ ...